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ARTS ET METIERS – PARISTECH PLASTICITE

SOMMAIRE

LOIS DE COMPORTEMENT – ANISOTROPIE 8
1- GENERALITES 8
2- LES ESSAIS MECANIQUES 9
3- MODELES RHEOLOGIQUES 10
3-1 Modèles parfaits 11
3-2 Elasticité 11
3-3 Viscoélasticité 12
3-4 Plasticité 13
3-4-1 Solide rigide parfaitement plastique 13
3-4-2 Solide élastique linéaire parfaitement plastique 13
3-4-3 Solide élastoplastique écrouissable 13
3-5 Viscoplasticité 14
4- ANISOTROPIE 14
4-1 Origine de l’anisotropie 14
4-1-1- Anisotropie de structure 15
4-1-2- Anisotropie d’élaboration 15
4-2 Expérimentation sur les matériaux anisotropes 15
5- ANISOTROPIE EN ELASTICITE LINEAIRE 16
5-1 Les tenseurs d’élasticité 16
5-2 Convention d’écriture 17
5-3 Matériau isotrope 19
5-4 Matériau orthotrope 19
5-5 Matériau isotrope transverse 20
6- UTILISATION DES MATERIAUX ANISOTROPES 21

PLASTICITE 22
1- GENERALITES 22
2- RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 22
2-1 Rappels sur l’état de contrainte 22
2-1-1 Base principale – Invariants 23
2-1-2 Tenseur déviateur des contraintes 23
2-2 Rappels sur l’état de déformation 24
2-2-1 Cas des petites déformations 24
2-2-2 Cas des grandes déformations 25
2-2-3 Déviateur du tenseur des déformations actuelles 26
2-3 Relations entre contraintes et déformations 26
3- CRITERES DE PLASTICITE 26
3-1 Position du problème 26
3-2 Surfaces et fonctions de charge 27

3-3 Principe de Hill 28
3-4 Critère de Von-Misès 29
3-4-1 Incompressibilité plastique 30
3-4-2 Contrainte équivalente 30
3-4-3 Expression du coefficient de proportionnalité 30
3-4-4 Déformation actuelle plastique équivalente 31
4- RELATIONS DE HENCKY-MISES 31
4-1 Hypothèse d’écrouissage 31
4-2 Relations de PRANDTL – REUSS 32
4-3 Relations de HENCKY – MISES 32
5- EXEMPLES 33
5-1 Exemple dans le cas d’un essai de traction 33
5-2 Traction et torsion d’un tube mince 34

LES ETATS D’APPROXIMATIONS 37
1- PLASTICITE PARFAITE 37
1-1 Matériau élastique parfaitement plastique 37
1-2 Matériau rigide parfaitement plastique 38
1-3 Rotule plastique 38
1-3-1 Elastique parfaitement plastique 38
1-3-2 Rigide parfaitement plastique 38
2- LES METHODES D’ENCADREMENT 39
2-1 Rappels 39
2-2 Définitions 39
2-3 Théorème statique ou de la borne inférieure 40
2-4 Théorème cinématique ou de la borne supérieure 40
3- APPLICATIONS A LA MISE EN FORME 41
3-1 Méthode des tranches 41
3-1-1 Idées générales 41
3-1-2 Forgeage d’une barre 42
3-2 Méthode de la borne supérieure 44
3-2-1 Choix des déplacements 45
3-2-2 Calcul de l’énergie dissipée 46
3-2-3 Calcul de la force motrice 48
3-2-4 Remarques 48
3-3 Méthode de la borne inférieure 48
3-4 Conclusions 50

THERMOMECANIQUE 51
1- LES LOIS DE CONSERVATION 51
1-1 Expression générale d’une loi de conservation 51
1-2 Equation de continuité 52
1-3 Loi fondamentale de la mécanique 53
1-4 Premier principe de la thermodynamique 54
1-5 Deuxième principe de la thermodynamique 55

2- THERMOMECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 56
2-1 Equation de la chaleur 56
2-2 Thermo-élasticité linéaire 57
3- COMPORTEMENT PLASTIQUE 59
3-1 Comportement plastique expérimental 59
3-1-1 Compression hydrostatique 59
3-1-2 Traction uniaxiale 59
3-2 Modélisations courantes 61
3-3 Principaux critères utilisés 61
3-3-1 Forme générale d’un critère de plasticité 61
3-3-2 Critère de Tresca 62
3-3-3 Critère de Von Misès 63
3-4 LOIS D’ECOULEMENT 63
3-4-1 Loi de Schmid 63
3-4-2 Principe du travail maximal 64
3-4-3 Loi d’écoulement associée au critère de Tresca 65
3-4-4 Loi d’écoulement associée au critère de Von Misès 66
4- RHEOLOGIE 67
4-1 Caractéristiques rhéologiques des métaux 67
4-1-1 Influence de l’écrouissage 67
4-1-2 Influence de l’élasticité 67
4-1-3 Influence de la température 68
4-1-4 Influence de la vitesse de déformation 69
4-1-5 Conclusions 69
4-2 Modélisation de la rhéologie 70
4-2-1 Prise en compte de l’écrouissage 70
4-2-2 Prise en compte de l’anisotropie 71
4-2-3 Modélisation du comportement viscoplastique 73
4-2-4 Modélisation du comportement élasto-viscoplastique 74

LES METHODES VARIATIONNELLES 75
1- DIFFERENTES FORMULATIONS 75
1-1 Introduction 75
1-2 Exemple 75
1-2-1 Approximation du déplacement par une fonction linéaire. 76
1-2-2 Approximation du déplacement par une fonction quadratique 77
1-2-3 Conclusions 78
2- FORMULATION INTEGRALE D’UN PROBLEME 78
2-1 Définitions 78
2-1-1 Opérateurs 78
2-1-2 Fonctionnelle 79
2-1-3 Produit scalaire 79
2-1-4 Opérateur symétrique 79
2-1-5 Opérateur défini positif 80
2-2 Théorème du minimum 81
2-2-1 Enoncé 81
2-2-2 Démonstration 81
2-2-3 Remarques 82
2-3 Théorème de la forme bilinéaire 83
2-3-1 Enoncé 83

2-3-2 Démonstration 83
2-4 Formulations variationnelles des problèmes d’élasticité 84
2-4-1 Théorème des puissances virtuelles 84
2-4-2 Théorème du minimum généralisé 86
2-5 Formes intégrales 86
2-5-1 Généralités 86
2-5-2 Méthode des résidus pondérés 87
2-5-3 Forme intégrale faible 87
3 APPLICATION A LA M.E.F. 87
3-1 Présentation 87
3-2 Discrétisation 88
3-2-1 Forme intégrale 88
3-2-2 Forme variationnelle 89
3-2-3 Conditions aux limites 90
3-3 Cas non linéaires 91
3-3-2 Algorithme de Newton-Raphson modifié 92
3-3-3 Méthode de Newton-Raphson 92
3-3-4 Méthode incrémentale 93
3-4 Cas instationnaires 94

FORMULATIONS ELASTOPLASTIQUE ET VISCOPLASTIQUE 95
1- RAPPEL DES EQUATIONS 95
1-1 Théorème des puissances virtuelles 95
1-2 Loi de comportement 96
1-3 Discrétisation temporelle 96
2- INTEGRATION DE LA LOI DE COMPORTEMENT 97
2-1 Découplage déviateur – pression 97
2-2 Loi élastoplastique 98
2-2-1 Solution analytique de référence 98
2-2-2 Méthodes numériques avec reprojection sur le critère 100
2-3 Solution numérique avec consistance plastique 101
2-3-1 Ecriture d’une équation scalaire 101
2-3-2 Résolution de l’équation scalaire 103
3- LA VISCOPLASTICITE 104
3-1 Le modèle de comportement 104
3-2 Le potentiel viscoplastique 105
3-3 Le modèle de frottement 107
3-4 Résolution analytique 108
3-5 Résolution numérique 110
3-5-1 Formulation variationnelle 110
3-5-2 Formulation de l’incompressibilité 111
3-5-3 Discrétisation temporelle 111
3-5-4 Discrétisation spatiale 112
3-5-5 Résolution du système 113

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